正方形を $n$ 等分してできる $n^2$ 個の小正方形に、1から $n^2$ までの数を順に書き込んでいく。上から $j$ 番目、左から $k$ 番目の小正方形に書かれた数について、以下の問いに答える。 (1) 1番上の行の左から $k$ 番目にある数は？ (2) 上から $j$ 番目の行の左端にある数は？ (3) 上から $j$ 番目の行の、左から $k$ 番目にある数は、 $1 \le k \le \boxed{ウ}$ のとき $\boxed{エ}$, $\boxed{ウ} < k \le n$ のとき $\boxed{オ}$。 (4) 上から $j$ 番目の行の $n$ 個の数の和から最上行の $n$ 個の数の和を引くと？

1. 問題の内容

正方形を $n$ 等分してできる $n^2$ 個の小正方形に、1から $n^2$ までの数を順に書き込んでいく。上から $j$ 番目、左から $k$ 番目の小正方形に書かれた数について、以下の問いに答える。

(1) 1番上の行の左から $k$ 番目にある数は？

(2) 上から $j$ 番目の行の左端にある数は？

(3) 上から $j$ 番目の行の、左から $k$ 番目にある数は、

$1 \le k \le \boxed{ウ}$ のとき $\boxed{エ}$, $\boxed{ウ} < k \le n$ のとき $\boxed{オ}$。

(4) 上から $j$ 番目の行の $n$ 個の数の和から最上行の $n$ 個の数の和を引くと？

2. 解き方の手順

(1) 1番上の行は $1, 4, 9, 16, \dots$ と並んでいる。一般に、 $k$ 番目の数は $(2k-1)^2$ ではない。$k$ 番目の数は $k^2$ である。しかしこの数列は $1, 2, 3 \dots$ であるので$k$ 番目の数は $k$ である。

(2) $j$ 番目の行の左端の数は、1, 2, 5, 10,…となっている。$j$番目の行の左端は、$j=1$のとき1, $j=2$のとき2, $j=3$のとき5, $j=4$のとき10である。これらの数の差は1, 3, 5,…である。

したがって、数列の一般項は、$a_j = 1 + \sum_{i=1}^{j-1} (2i-1) = 1 + 2\sum_{i=1}^{j-1} i - \sum_{i=1}^{j-1} 1 = 1 + 2 \frac{(j-1)j}{2} - (j-1) = 1 + j(j-1) - (j-1) = j^2 - 2j + 2$となる。

(3) $j$行目の数は、$k$の値によって規則が異なる。

$j$行目の左から$k$番目の数は、

- $j$が奇数のとき、$a_{j,k} = (j-1)n+k$

- $j$が偶数のとき、$a_{j,k} = jn - (k-1)$

よって、

$1 \le k \le \frac{n+1}{2}$のとき、$a_{j,k} = (j-1)n+k$

$\frac{n+1}{2} < k \le n$のとき、$a_{j,k} = jn - (k-1)$

あるいは、

$j$行目の左から$k$番目の数は

$j$が奇数のときは、行の左から右へ増加

$j$が偶数のときは、行の右から左へ増加

$j$番目の行の左端の数(奇数行の場合)は、$j^2 - 2j + 2$である。

1行目の左端の数: 1

2行目の左端の数: 2

3行目の左端の数: 5

4行目の左端の数: 10

$1 \le k \le n/2$ のとき、

奇数行では $(j-1)n+k$

偶数行では $jn-(k-1)$

$j=1$のとき $a_{1,k} = k$

$j=2$のとき $a_{2,k} = 2n-(k-1) = 2n-k+1$

$j=3$のとき $a_{3,k} = 2n+k$

$j=4$のとき $a_{4,k} = 4n-k+1$

$j$番目の行の左から $k$ 番目の数は、

$j$が奇数のとき、 $(j-1)n + k$

$j$が偶数のとき、 $jn-(k-1)$

したがって、

$1 \le k \le n$ のとき、$(j-1)n+k$ または $jn-(k-1)$

$j$が奇数のとき $1 \le k \le n$ のとき、 $(j-1)n+k$

$j$が偶数のとき $1 \le k \le n$ のとき、 $jn-(k-1)$

$\boxed{ウ} = n$

$1 \le k \le n$ のとき、

$j$が奇数のとき $\boxed{エ} = (j-1)n + k$

$j$が偶数のとき $\boxed{オ} = jn-(k-1)$

(4) $j$番目の行の $n$ 個の数の和から最上行の $n$ 個の数の和を引く。

$j$番目の行の数の和から1行目の数の和を引く

1行目の和： $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

$j$が奇数のとき、 $\sum_{k=1}^n ((j-1)n + k) = \sum_{k=1}^n (j-1)n + \sum_{k=1}^n k = (j-1)n^2 + \frac{n(n+1)}{2}$

$j$が偶数のとき、 $\sum_{k=1}^n (jn-(k-1)) = jn^2 - \sum_{k=1}^n (k-1) = jn^2 - (\frac{n(n+1)}{2} - n) = jn^2 - \frac{n(n-1)}{2}$

$j$が奇数のとき、 $(j-1)n^2 + \frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n+1)}{2} = (j-1)n^2$

$j$が偶数のとき、 $jn^2 - \frac{n(n-1)}{2} - \frac{n(n+1)}{2} = jn^2 - n^2 = (j-1)n^2$

したがって、$\boxed{カ} = (j-1)n^2$

3. 最終的な答え

(1) $k$

(2) $j^2 - 2j + 2$

(3) $\boxed{ウ} = n$

$1 \le k \le n$ のとき、

$j$が奇数のとき $\boxed{エ} = (j-1)n + k$

$j$が偶数のとき $\boxed{オ} = jn-(k-1)$

(4) $(j-1)n^2$