(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k+1)(4k^2-2k+1)$ (2) $\sum_{k=11}^{20} (6k-1)$ (3) $\sum_{k=1}^{n+1} 5^k$ これらの和をそれぞれ求めます。

はい、承知しました。次の和を求める問題ですね。3つの問題があるので、順番に解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k+1)(4k^2-2k+1)$

(2) $\sum_{k=11}^{20} (6k-1)$

(3) $\sum_{k=1}^{n+1} 5^k$

これらの和をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k+1)(4k^2-2k+1)$

まず、展開します。

$(2k+1)(4k^2-2k+1) = 8k^3 - 4k^2 + 2k + 4k^2 - 2k + 1 = 8k^3 + 1$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (8k^3+1) = 8\sum_{k=1}^{n} k^3 + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

よって、

$8\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + n = 8\frac{n^2(n+1)^2}{4} + n = 2n^2(n+1)^2 + n = 2n^2(n^2+2n+1) + n = 2n^4 + 4n^3 + 2n^2 + n$

(2) $\sum_{k=11}^{20} (6k-1)$

$\sum_{k=11}^{20} (6k-1) = 6\sum_{k=11}^{20} k - \sum_{k=11}^{20} 1$

$\sum_{k=11}^{20} k = \sum_{k=1}^{20} k - \sum_{k=1}^{10} k = \frac{20(21)}{2} - \frac{10(11)}{2} = 210 - 55 = 155$

$\sum_{k=11}^{20} 1 = 20 - 11 + 1 = 10$

したがって、

$6(155) - 10 = 930 - 10 = 920$

(3) $\sum_{k=1}^{n+1} 5^k$

これは等比数列の和です。

$\sum_{k=1}^{n+1} 5^k = \frac{5(5^{n+1} - 1)}{5 - 1} = \frac{5(5^{n+1} - 1)}{4} = \frac{5^{n+2} - 5}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $2n^4 + 4n^3 + 2n^2 + n$

(2) $920$

(3) $\frac{5^{n+2} - 5}{4}$