この問題は、対数を用いて $15^{20}$ の桁数と最高位の数字を求める問題です。具体的には、以下の問いに答えます。 (1) $\log_{10} 10$ の値を求め、$\log_{10} 5$ と $\log_{10} 15$ を $\log_{10} 2$ と $\log_{10} 3$ を用いて表す。 (2) $\log_{10} 2 = 0.3010$ と $\log_{10} 3 = 0.4771$ を用いて、$15^{20}$ の桁数と最高位の数字を求める。

1. 問題の内容

この問題は、対数を用いて $15^{20}$ の桁数と最高位の数字を求める問題です。具体的には、以下の問いに答えます。

(1) $\log_{10} 10$ の値を求め、$\log_{10} 5$ と $\log_{10} 15$ を $\log_{10} 2$ と $\log_{10} 3$ を用いて表す。

(2) $\log_{10} 2 = 0.3010$ と $\log_{10} 3 = 0.4771$ を用いて、$15^{20}$ の桁数と最高位の数字を求める。

2. 解き方の手順

(1)

ア: $\log_{10} 10 = 1$

イ, ウ: $\log_{10} 5 = \log_{10} (10/2) = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2$

よって、$\log_{10} 5 = -\log_{10} 2 + 1$

エ, オ: $\log_{10} 15 = \log_{10} (3 \times 5) = \log_{10} 3 + \log_{10} 5 = \log_{10} 3 + 1 - \log_{10} 2$

よって、$\log_{10} 15 = -\log_{10} 2 + \log_{10} 3 + 1$

(2)

まず、$\log_{10} 15^{20} = 20 \log_{10} 15 = 20 (-\log_{10} 2 + \log_{10} 3 + 1)$ を計算します。

$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ を代入すると、

$\log_{10} 15^{20} = 20 (-0.3010 + 0.4771 + 1) = 20 (1.1761) = 23.522$

カキ: $\log_{10} 15^{20}$ の整数部分は 23 なので、 $23 < \log_{10} 15^{20} < 24$

クケ: $15^{20}$ は 24 桁の数である。

次に、$15^{20}$ の最高位の数字を求めます。$\log_{10} 15^{20}$ の小数部分は $0.522$ です。

コ: $\log_{10} 3 = 0.4771 < 0.522 < 0.6020 = \log_{10} 4$

したがって、 $\log_{10} 3 < \log_{10} 15^{20} - 23 < \log_{10} 4$

サ: よって、$15^{20}$ の最高位の数字は3です。

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: -1

ウ: 1

エ: -1

オ: 1

カキ: 23

クケ: 24

コ: 3

サ: 3