与えられた根号を含む式を計算し、もしくは分母を有理化する問題です。具体的には、以下の問題を解きます。 10. 次の式を計算せよ。 (1) $\sqrt{\frac{75}{16}}$ (2) $\sqrt{3}(2\sqrt{3} - \sqrt{6})$ (3) $\sqrt{(-3)^2 \cdot 2^2}$ (4) $\sqrt{(-8)(-2)}$ 11. 次の式を計算せよ。 (1) $4\sqrt{3} + \sqrt{75} - \sqrt{48}$ (2) $2\sqrt{12} - 7\sqrt{3} + \sqrt{27}$ (3) $(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})^2$ (4) $(2 - 3\sqrt{3})(3 + 2\sqrt{3})$ 12. 次の式の分母を有理化せよ。 (1) $\frac{1}{\sqrt{48}}$

1. 問題の内容

与えられた根号を含む式を計算し、もしくは分母を有理化する問題です。具体的には、以下の問題を解きます。

1

0. 次の式を計算せよ。

(1) $\sqrt{\frac{75}{16}}$

(2) $\sqrt{3}(2\sqrt{3} - \sqrt{6})$

(3) $\sqrt{(-3)^2 \cdot 2^2}$

(4) $\sqrt{(-8)(-2)}$

1

1. 次の式を計算せよ。

(1) $4\sqrt{3} + \sqrt{75} - \sqrt{48}$

(2) $2\sqrt{12} - 7\sqrt{3} + \sqrt{27}$

(3) $(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})^2$

(4) $(2 - 3\sqrt{3})(3 + 2\sqrt{3})$

1

2. 次の式の分母を有理化せよ。

(1) $\frac{1}{\sqrt{48}}$

2. 解き方の手順

1

0. (1) $\sqrt{\frac{75}{16}} = \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{25 \cdot 3}}{4} = \frac{5\sqrt{3}}{4}$

(2) $\sqrt{3}(2\sqrt{3} - \sqrt{6}) = 2\sqrt{3}\sqrt{3} - \sqrt{3}\sqrt{6} = 2 \cdot 3 - \sqrt{18} = 6 - \sqrt{9 \cdot 2} = 6 - 3\sqrt{2}$

(3) $\sqrt{(-3)^2 \cdot 2^2} = \sqrt{9 \cdot 4} = \sqrt{36} = 6$

(4) $\sqrt{(-8)(-2)} = \sqrt{16} = 4$

1

1. (1) $4\sqrt{3} + \sqrt{75} - \sqrt{48} = 4\sqrt{3} + \sqrt{25 \cdot 3} - \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = (4 + 5 - 4)\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$

(2) $2\sqrt{12} - 7\sqrt{3} + \sqrt{27} = 2\sqrt{4 \cdot 3} - 7\sqrt{3} + \sqrt{9 \cdot 3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} - 7\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 7\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = (4 - 7 + 3)\sqrt{3} = 0\sqrt{3} = 0$

(3) $(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2(2\sqrt{3})(3\sqrt{2}) + (3\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 3 - 12\sqrt{6} + 9 \cdot 2 = 12 - 12\sqrt{6} + 18 = 30 - 12\sqrt{6}$

(4) $(2 - 3\sqrt{3})(3 + 2\sqrt{3}) = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \cdot 3 - 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 6 + 4\sqrt{3} - 9\sqrt{3} - 6 \cdot 3 = 6 + 4\sqrt{3} - 9\sqrt{3} - 18 = -12 - 5\sqrt{3}$

1

2. (1) $\frac{1}{\sqrt{48}} = \frac{1}{\sqrt{16 \cdot 3}} = \frac{1}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{4\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{12}$

3. 最終的な答え

1

0. (1) $\frac{5\sqrt{3}}{4}$

(2) $6 - 3\sqrt{2}$

(3) $6$

(4) $4$

1

1. (1) $5\sqrt{3}$

(2) $0$

(3) $30 - 12\sqrt{6}$

(4) $-12 - 5\sqrt{3}$

1

2. (1) $\frac{\sqrt{3}}{12}$