座標平面上に2本の直線 $l: y = \frac{1}{2}x$ と $m: y = -\frac{1}{3}x + 5$ がある。これらの交点をAとする。直線 $m$ 上にx座標が3である点Bをとり、Bを通る直線 $n$ と線分OA、x軸との交点をそれぞれC, Dとする。$\triangle ABC = \triangle OCD$ が成り立つとき、以下の問いに答えよ。 (1) 直線OBの式を求めよ。 (2) 点Dの座標を求めよ。 (3) 直線nの式を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に2本の直線 $l: y = \frac{1}{2}x$ と $m: y = -\frac{1}{3}x + 5$ がある。これらの交点をAとする。直線 $m$ 上にx座標が3である点Bをとり、Bを通る直線 $n$ と線分OA、x軸との交点をそれぞれC, Dとする。$\triangle ABC = \triangle OCD$ が成り立つとき、以下の問いに答えよ。

(1) 直線OBの式を求めよ。

(2) 点Dの座標を求めよ。

(3) 直線nの式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Bの座標を求める。点Bは直線 $m: y = -\frac{1}{3}x + 5$ 上にあり、x座標が3であるから、$y = -\frac{1}{3}(3) + 5 = -1 + 5 = 4$。したがって、Bの座標は(3, 4)である。

直線OBは原点を通る直線なので、$y = ax$ と表せる。B(3, 4)を通るので、$4 = 3a$ より $a = \frac{4}{3}$。

したがって、直線OBの式は $y = \frac{4}{3}x$。

(2) 点Aの座標を求める。点Aは直線 $l: y = \frac{1}{2}x$ と $m: y = -\frac{1}{3}x + 5$ の交点なので、

$\frac{1}{2}x = -\frac{1}{3}x + 5$

$3x = -2x + 30$

$5x = 30$

$x = 6$

$y = \frac{1}{2}(6) = 3$

したがって、Aの座標は(6, 3)である。

直線OAの式は、$y = \frac{3}{6}x = \frac{1}{2}x$ となる。

$\triangle ABC = \triangle OCD$ であるから、これらの面積を求める。

$\triangle ABC$ の面積を計算するために、点Cの座標を求める必要がある。

点Cは直線OBとOAの交点なので、OBの式は $y = \frac{4}{3}x$ ではなく、$y = \frac{1}{2}x$との交点なので、Bを通る直線nとOAの交点である。

$\triangle ABC = \triangle OCD$ より、$OC \times ($BからOAに下ろした垂線の長さ$) = OD \times ($CからODに下ろした垂線の長さ$)$

$\triangle ABC$ の面積を求める。ABは底辺、Aから直線 $n$ に下ろした垂線の長さが高さとなる。

$\triangle OCD$ の面積を求める。ODは底辺、Cからx軸に下ろした垂線の長さが高さとなる。

点Dの座標を(d, 0)とする。

$\triangle OAB$の面積は、$\frac{1}{2} | 0(3-4) + 3(4-0) + 0(0-3) | = \frac{1}{2} | 0 + 12 + 0 | = 6$

(1)で求めたOBの傾き $\frac{4}{3}$ は、直線$n$の傾きに関係ない。

$\triangle ABC = \triangle OCD$ なので、CはOA上にあるので、 $OC \times h_{B} = OD \times h_{C}$、点Cのy座標をcとすると

$OA \perp$ 線分BCのとき、面積は等しくならない。

点D (d,0)とし、三角形の面積を考える。直線nの式を $y = ax+b$とするとB(3,4)を通るので $4=3a+b$。また、D (d,0)を通るので $0 = ad+b$。よって $4-3a = -ad$。

直線OAの式は$y= \frac{1}{2}x$なのでCの座標は(c,$\frac{1}{2}c$)である。

△ABC=△OCDなので $\frac{1}{2}AB \times height = \frac{1}{2} OD \times \frac{1}{2}c$

2. 最終的な答え

(1) $y = \frac{4}{3}x$

(2) (9, 0)

(3) $y = -\frac{4}{3}x + 8$