放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上の原点以外の2点 P, Q を接点とする接線の交点を R とします。点 P, Q の中点を M とし、点 P, Q の $x$ 座標をそれぞれ $p$, $q$ ($p < q$) とします。このとき、点 M, R の座標をそれぞれ $p$, $q$ で表し、線分 MR は $y$ 軸に平行であることを示す必要があります。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上の原点以外の2点 P, Q を接点とする接線の交点を R とします。点 P, Q の中点を M とし、点 P, Q の $x$ 座標をそれぞれ $p$, $q$ ($p < q$) とします。このとき、点 M, R の座標をそれぞれ $p$, $q$ で表し、線分 MR は $y$ 軸に平行であることを示す必要があります。

2. 解き方の手順

* 点 P, Q の座標を求めます。

点 P の座標は $(p, \frac{1}{2}p^2)$ であり、点 Q の座標は $(q, \frac{1}{2}q^2)$ です。

* 点 P, Q における接線の方程式を求めます。

$y = \frac{1}{2}x^2$ を微分すると $y' = x$ となります。

点 P における接線の方程式は $y - \frac{1}{2}p^2 = p(x - p)$ より $y = px - \frac{1}{2}p^2$ となります。

点 Q における接線の方程式は $y - \frac{1}{2}q^2 = q(x - q)$ より $y = qx - \frac{1}{2}q^2$ となります。

* 交点 R の座標を求めます。

2つの接線の方程式を連立して解きます。

$px - \frac{1}{2}p^2 = qx - \frac{1}{2}q^2$ より

$px - qx = \frac{1}{2}p^2 - \frac{1}{2}q^2$

$(p-q)x = \frac{1}{2}(p^2 - q^2)$

$(p-q)x = \frac{1}{2}(p-q)(p+q)$

$p \neq q$ より、$x = \frac{p+q}{2}$ となります。

$y = p(\frac{p+q}{2}) - \frac{1}{2}p^2 = \frac{p^2+pq}{2} - \frac{p^2}{2} = \frac{pq}{2}$ となります。

したがって、交点 R の座標は $(\frac{p+q}{2}, \frac{pq}{2})$ となります。

* 点 M の座標を求めます。

点 M は P, Q の中点なので、

$x$ 座標は $\frac{p+q}{2}$、

$y$ 座標は $\frac{\frac{1}{2}p^2 + \frac{1}{2}q^2}{2} = \frac{p^2+q^2}{4}$ となります。

したがって、点 M の座標は $(\frac{p+q}{2}, \frac{p^2+q^2}{4})$ となります。

* 線分 MR が $y$ 軸に平行であることを示します。

点 M と点 R の $x$ 座標が $\frac{p+q}{2}$ で一致するので、線分 MR は $y$ 軸に平行です。

3. 最終的な答え

点 M の座標は $(\frac{p+q}{2}, \frac{p^2+q^2}{4})$ であり、点 R の座標は $(\frac{p+q}{2}, \frac{pq}{2})$ です。線分 MR は $y$ 軸に平行です。