三角形ABCにおいて、A(4, 0), B(1, 6), C(5, 3)である。三角形ABCと三角形PBCの面積が等しくなるような点Pをy軸上にとるとき、以下の問いに答えよ。 (1) 直線BCの式を求めよ。 (2) 点Pの座標をすべて求めよ。

はい、承知いたしました。それでは、画像にある4つの問題のうち、4番目の問題について解説します。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、A(4, 0), B(1, 6), C(5, 3)である。三角形ABCと三角形PBCの面積が等しくなるような点Pをy軸上にとるとき、以下の問いに答えよ。

(1) 直線BCの式を求めよ。

(2) 点Pの座標をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線BCの式を求める。

直線BCの式を $y = mx + b$ とおく。

点B(1, 6)と点C(5, 3)を通るので、

$6 = m + b$

$3 = 5m + b$

この連立方程式を解く。上の式から下の式を引くと、

$3 = -4m$

$m = -\frac{3}{4}$

これを $6 = m + b$ に代入すると、

$6 = -\frac{3}{4} + b$

$b = 6 + \frac{3}{4} = \frac{24}{4} + \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$

よって、直線BCの式は、

$y = -\frac{3}{4}x + \frac{27}{4}$

(2) 点Pの座標を求める。

点Pはy軸上にあるので、P(0, y)とおく。

三角形ABCの面積と三角形PBCの面積が等しい。

三角形ABCの面積を求める。

A(4, 0), B(1, 6), C(5, 3)なので、

三角形ABCの面積 = $\frac{1}{2} |(4(6-3) + 1(3-0) + 5(0-6))|$

= $\frac{1}{2} |(12 + 3 - 30)|$

= $\frac{1}{2} |-15|$

= $\frac{15}{2}$

三角形PBCの面積を求める。

P(0, y), B(1, 6), C(5, 3)なので、

三角形PBCの面積 = $\frac{1}{2} |(0(6-3) + 1(3-y) + 5(y-6))|$

= $\frac{1}{2} |(3-y + 5y - 30)|$

= $\frac{1}{2} |4y - 27|$

三角形ABCの面積と三角形PBCの面積が等しいので、

$\frac{15}{2} = \frac{1}{2} |4y - 27|$

$15 = |4y - 27|$

$4y - 27 = 15$ または $4y - 27 = -15$

$4y = 42$ または $4y = 12$

$y = \frac{42}{4} = \frac{21}{2}$ または $y = 3$

よって、点Pの座標は、$(0, \frac{21}{2})$ または $(0, 3)$

3. 最終的な答え

(1) 直線BCの式： $y = -\frac{3}{4}x + \frac{27}{4}$

(2) 点Pの座標： $(0, 3), (0, \frac{21}{2})$