与えられた式 $\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ を有理化して簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ を有理化して簡単にします。

2. 解き方の手順

分母の有理化を行います。分母の $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ に対して、$\sqrt{5} + \sqrt{3}$ を掛け合わせることで、分母を有理化します。

そのため、分子と分母の両方に $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

$= \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}$

ここで、分母は $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ の公式を利用して計算できます。

$(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$

したがって、

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$