8個の文字A, A, B, B, C, C, D, Eを横一列に並べるとき、以下の問いに答えます。 (1) 並べ方は全部で何通りあるか。 (2) AとAが隣り合い、BとBが隣り合い、CとCが隣り合うような並べ方は全部で何通りあるか。 (3) 同じ文字が全く隣り合わない並べ方は全部で何通りあるか。

1. 問題の内容

8個の文字A, A, B, B, C, C, D, Eを横一列に並べるとき、以下の問いに答えます。

(1) 並べ方は全部で何通りあるか。

(2) AとAが隣り合い、BとBが隣り合い、CとCが隣り合うような並べ方は全部で何通りあるか。

(3) 同じ文字が全く隣り合わない並べ方は全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 全体の並べ方を求める。A, B, Cがそれぞれ2つずつあるので、同じものを含む順列の考え方を使う。

全並べ方は

$\frac{8!}{2!2!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 3 \times 1 = 5040$

(2) AとA, BとB, CとCがそれぞれ隣り合う場合を考える。AA, BB, CCをそれぞれ1つのまとまりと考えると、並べるものはAA, BB, CC, D, Eの5つになる。したがって、並べ方は5!通り。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

(3) 同じ文字が全く隣り合わない並べ方は、包除原理を使う必要がありますが、ここでは省略します。

3. 最終的な答え

(1) 5040通り

(2) 120通り

(3) 解答なし