8個の文字A, A, B, B, C, C, D, Eを横一列に並べるとき、次の問いに答える。 (1) 並べ方は全部で何通りあるか。 (2) AとAが隣り合い、BとBが隣り合い、CとCが隣り合うような並べ方は全部で何通りあるか。 (3) 同じ文字が全く隣り合わない並べ方は全部で何通りあるか。

1. 問題の内容

8個の文字A, A, B, B, C, C, D, Eを横一列に並べるとき、次の問いに答える。

(1) 並べ方は全部で何通りあるか。

(2) AとAが隣り合い、BとBが隣り合い、CとCが隣り合うような並べ方は全部で何通りあるか。

(3) 同じ文字が全く隣り合わない並べ方は全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 全ての文字を区別すると、8!通りの並べ方がある。しかし、Aが2つ、Bが2つ、Cが2つあるので、同じものを区別しない並べ方は、

$\frac{8!}{2!2!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 3 \times 2 = 5040$通り

(2) AとA、BとB、CとCをそれぞれ1つのまとまりとして考えると、AA, BB, CC, D, E の5つの並べ方を考えることになる。

5つの並べ方は $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$通り

(3) これは難しい問題です。包除原理を使う必要があります。

まずは全体の場合の数から、Aが隣り合う、Bが隣り合う、Cが隣り合う場合の数を引きます。さらに、AとBが隣り合う、BとCが隣り合う、AとCが隣り合う場合の数を足し、最後にAとBとCが隣り合う場合の数を引きます。

* 全体の場合の数: $\frac{8!}{2!2!2!} = 5040$

* Aが隣り合う場合の数: $\frac{7!}{2!2!} = 1260$。 B, Cが隣り合う場合も同様。

* AとBが隣り合う場合の数: $\frac{6!}{2!} = 360$。BとC、AとCが隣り合う場合も同様。

* AとBとCが隣り合う場合の数: $5! = 120$

同じ文字が少なくとも1組隣り合う並べ方の場合の数を求める。

$3 \times \frac{7!}{2!2!} - 3 \times \frac{6!}{2!} + 5! = 3 \times 1260 - 3 \times 360 + 120 = 3780 - 1080 + 120 = 2820$

同じ文字が全く隣り合わない並べ方の総数は、全体から同じ文字が少なくとも1組隣り合う並べ方の総数を引くことで求められる。

$5040 - 2820 = 2220$

3. 最終的な答え

(1) 5040通り

(2) 120通り

(3) 2220通り