問題4と5があります。 問題4：$x = \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}$ , $y = \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求めよ。 問題5：$x^3 + y^3$ の値を求めよ。（ただし、問題4のx,yと同じものを使うかは不明。）

1. 問題の内容

問題4と5があります。

問題4：$x = \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}$ , $y = \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求めよ。

問題5：$x^3 + y^3$ の値を求めよ。（ただし、問題4のx,yと同じものを使うかは不明。）

2. 解き方の手順

問題4：

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2} = \frac{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{5 + 4\sqrt{5} + 4}{5-4} = 9 + 4\sqrt{5}$

$y = \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2} = \frac{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)} = \frac{5 - 4\sqrt{5} + 4}{5-4} = 9 - 4\sqrt{5}$

次に、$x^2$ と $y^2$ を計算します。

$x^2 = (9+4\sqrt{5})^2 = 81 + 72\sqrt{5} + 80 = 161 + 72\sqrt{5}$

$y^2 = (9-4\sqrt{5})^2 = 81 - 72\sqrt{5} + 80 = 161 - 72\sqrt{5}$

最後に、$x^2 + y^2$ を計算します。

$x^2 + y^2 = (161 + 72\sqrt{5}) + (161 - 72\sqrt{5}) = 322$

問題5：

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

$x+y = (9 + 4\sqrt{5}) + (9 - 4\sqrt{5}) = 18$

$xy = (9 + 4\sqrt{5})(9 - 4\sqrt{5}) = 81 - 80 = 1$

$x^2 + y^2 = 322$ (問題4より)

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = 18 (322 - 1) = 18(321) = 5778$

3. 最終的な答え

問題4: 322

問題5: 5778