与えられた式 $(x^2+xy+y^2)(x^2+y^2)(x-y)^2(x+y)$ を展開し、簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^2+xy+y^2)(x^2+y^2)(x-y)^2(x+y)$ を展開し、簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x-y)^2(x+y)$ の部分を展開します。

$(x-y)^2 = (x-y)(x-y) = x^2 - 2xy + y^2$

$(x^2 - 2xy + y^2)(x+y) = x^3 + x^2y - 2x^2y - 2xy^2 + xy^2 + y^3 = x^3 - x^2y - xy^2 + y^3$

次に、$x^2+xy+y^2$ と $x^3 - x^2y - xy^2 + y^3$ の積を考えます。これは、$x^2+xy+y^2$ に $(x-y)(x^2-y^2)$を掛けたものと考えることができます。

$(x^2+xy+y^2)(x-y) = x^3-y^3$となるので、

$(x^2+xy+y^2)(x-y)(x+y) = (x^3 - y^3)(x+y) = x^4+x^3y-xy^3-y^4$

なので、与えられた式は $(x^4-y^4)(x^2+y^2)$となる。

$(x^4-y^4)(x^2+y^2) = x^6 + x^4y^2 - x^2y^4 - y^6$

次に、$x^4-y^4$を展開します。

$x^4-y^4=(x^2+y^2)(x^2-y^2)$

与えられた式は $(x^2+xy+y^2)(x^2+y^2)(x-y)^2(x+y)$です。

$(x-y)^2(x+y)=(x-y)(x-y)(x+y) = (x-y)(x^2-y^2)=x^3-x^2y-xy^2+y^3$

$(x^2+xy+y^2)(x^3-x^2y-xy^2+y^3)=x^5 -x^4y-x^3y^2+x^2y^3+x^4y-x^3y^2-x^2y^3+xy^4+x^3y^2-x^2y^3-xy^4+y^5 = x^5-x^3y^2-x^2y^3+y^5$

$(x^5 -x^3y^2-x^2y^3+y^5)(x^2+y^2) = x^7-x^5y^2-x^4y^3+x^2y^5+x^5y^2-x^3y^4-x^2y^5+y^7 = x^7-x^4y^3-x^3y^4+y^7$

間違いです。

$x^4-y^4 = (x-y)(x+y)(x^2+y^2)$

$(x^2+xy+y^2)(x^2+y^2)(x-y)^2(x+y) = (x^2+xy+y^2)(x-y)(x-y)(x+y)(x^2+y^2)=(x^3-y^3)(x-y)(x^2+y^2) = (x^4-xy^3-x^3y+y^4)(x^2+y^2)=x^6-x^3y^3-x^5y+x^4y^2+x^4y^2-xy^5-x^3y^3+y^6 = x^6 - x^5y + 2x^4y^2 - 2x^3y^3-xy^5+y^6$

もう一度考えます。

$(x^2+xy+y^2)(x^2+y^2)(x-y)(x-y)(x+y)$

$(x^2+xy+y^2)(x-y) = x^3-y^3$

$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$

与式は$(x^3-y^3)(x^2-y^2)(x^2+y^2) = (x^3-y^3)(x^4-y^4) = x^7-x^3y^4-x^4y^3+y^7$

3. 最終的な答え

$x^7-x^4y^3-x^3y^4+y^7$