与えられた式 $(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)$ を展開し、整理した式を求める。

## 問題(10)

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)$ を展開し、整理した式を求める。

2. 解き方の手順

与えられた式を工夫して展開する。$(x+1)(x+6)$ と $(x+2)(x+3)$ をそれぞれ計算することで、$x^2+7x$ という共通の項を作り出す。その後、置き換えを利用して計算を簡単にする。

まず、$(x+1)(x+6)$ と $(x+2)(x+3)$ を計算する。

$(x+1)(x+6) = x^2 + 6x + x + 6 = x^2 + 7x + 6$

$(x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$

ここで、$A = x^2 + 5x + 6$ とおくと、$x^2 + 7x + 6 = A + 2x$ となる。

したがって、$(x+1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x^2+7x+6)(x^2+5x+6) = (A+2x)A = A^2 + 2xA$

ここで、$A = x^2+5x+6$ を代入する。

$A^2 = (x^2+5x+6)^2 = (x^2+5x+6)(x^2+5x+6) = x^4 + 5x^3 + 6x^2 + 5x^3 + 25x^2 + 30x + 6x^2 + 30x + 36 = x^4 + 10x^3 + 37x^2 + 60x + 36$

$2xA = 2x(x^2+5x+6) = 2x^3 + 10x^2 + 12x$

したがって、$A^2 + 2xA = x^4 + 10x^3 + 37x^2 + 60x + 36 + 2x^3 + 10x^2 + 12x = x^4 + 12x^3 + 47x^2 + 72x + 36$

3. 最終的な答え

$x^4 + 12x^3 + 47x^2 + 72x + 36$