(1) $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ の公式を利用して、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を因数分解する。 (2) $x^3 - 3xy + y^3 + 1$ を因数分解する。

1. 問題の内容

(1) $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ の公式を利用して、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を因数分解する。

(2) $x^3 - 3xy + y^3 + 1$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

(1) まず、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を $a^3 + b^3$ の部分と $c^3 - 3abc$ の部分に分けて考える。

$a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ であるから、

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 - 3abc$ となる。

ここで、$A = a+b$ と置くと、

$(a+b)^3 + c^3 - 3ab(a+b) - 3abc = A^3 + c^3 - 3abA - 3abc$ となる。

さらに、$A^3 + c^3 = (A+c)(A^2 - Ac + c^2)$ を用いると、

$(A+c)(A^2 - Ac + c^2) - 3ab(A+c) = (A+c)(A^2 - Ac + c^2 - 3ab)$ となる。

$A = a+b$ を代入すると、

$(a+b+c)((a+b)^2 - (a+b)c + c^2 - 3ab)$

$= (a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc + c^2 - 3ab)$

$= (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

(2) $x^3 + y^3 + 1 - 3xy$ を因数分解する。

ここで、問題(1)の結果を利用すると、 $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ である。

$x^3 + y^3 + 1^3 - 3xy(1)$ という形をしているので、$a = x, b = y, c = 1$ と考えると、

$x^3 + y^3 + 1 - 3xy = (x+y+1)(x^2 + y^2 + 1 - xy - y - x)$

3. 最終的な答え

(1) $(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

(2) $(x+y+1)(x^2 + y^2 + 1 - xy - y - x)$