与えられた2変数多項式 $x^2 + 5xy + 6y^2 - 2x - 7y - 3$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $x^2 + 5xy + 6y^2 - 2x - 7y - 3$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理し、因数分解しやすい形にする。

$x^2 + 5xy + 6y^2 - 2x - 7y - 3 = x^2 + (5y - 2)x + (6y^2 - 7y - 3)$

次に、$y$ のみの式 $6y^2 - 7y - 3$ を因数分解する。

$6y^2 - 7y - 3 = (2y - 3)(3y + 1)$

元の式に代入すると、

$x^2 + (5y - 2)x + (2y - 3)(3y + 1)$

この式が $(x + ay + b)(x + cy + d)$ の形に因数分解できると仮定すると、$ac = 6$, $bd = -3$ となる。

また、$a + c = 5$ , $b + d = -7$ となる。

$x^2 + (5y-2)x + (6y^2-7y-3)$ が $(x + ay + b)(x + cy + d) = x^2 + (a+c)xy + (b+d)x + acy^2 + (ad+bc)y + bd$

となることを利用する。

与えられた式から、$a+c=5$, $ac=6$ なので、$a=2, c=3$ もしくは $a=3, c=2$。

$b+d=-2$, $bd=-3$ なので、$b=1, d=-3$ もしくは $b=-3, d=1$。

$ad+bc = -7$ である必要がある。

$a=2, c=3$ のとき、$2d+3b = -7$

$b=1, d=-3$ のとき、$2(-3) + 3(1) = -6 + 3 = -3$ これは不適。

$b=-3, d=1$ のとき、$2(1) + 3(-3) = 2 - 9 = -7$ これは適する。

したがって、$a=2$, $c=3$, $b=-3$, $d=1$ である。

$x^2 + (5y - 2)x + 6y^2 - 7y - 3 = (x + 2y - 3)(x + 3y + 1)$

3. 最終的な答え

$(x + 2y - 3)(x + 3y + 1)$