次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b$ の値を求めよ。 $\frac{3x-1}{(x-2)(x+3)} = \frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+3}$

1. 問題の内容

次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b$ の値を求めよ。

$\frac{3x-1}{(x-2)(x+3)} = \frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+3}$

2. 解き方の手順

与えられた等式の右辺を通分します。

$\frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+3} = \frac{a(x+3) + b(x-2)}{(x-2)(x+3)} = \frac{ax + 3a + bx - 2b}{(x-2)(x+3)} = \frac{(a+b)x + (3a - 2b)}{(x-2)(x+3)}$

したがって、

$\frac{3x-1}{(x-2)(x+3)} = \frac{(a+b)x + (3a - 2b)}{(x-2)(x+3)}$

この等式が $x$ についての恒等式であるためには、分子の係数がそれぞれ等しくなければなりません。

よって、次の連立方程式を得ます。

$a + b = 3$

$3a - 2b = -1$

1番目の式から $b = 3 - a$ を得ます。

これを2番目の式に代入すると、

$3a - 2(3 - a) = -1$

$3a - 6 + 2a = -1$

$5a = 5$

$a = 1$

$a = 1$ を $b = 3 - a$ に代入すると、

$b = 3 - 1 = 2$

したがって、$a = 1, b = 2$

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = 2$