$a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を用いて、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

$a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を用いて、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a^3 + b^3$ の部分を問題で与えられた式で置き換えます。

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 - 3abc$

ここで、$A = a+b$ とおくと、

$(a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 - 3abc = A^3 - 3abA + c^3 - 3abc$

$= A^3 + c^3 - 3abA - 3abc$

$= A^3 + c^3 - 3ab(A + c)$

さらに、$A^3 + c^3$ を因数分解します。$A^3 + c^3 = (A+c)(A^2 - Ac + c^2)$　を用いると、

$A^3 + c^3 - 3ab(A+c) = (A+c)(A^2 - Ac + c^2) - 3ab(A+c)$

$= (A+c)(A^2 - Ac + c^2 - 3ab)$

ここで、$A = a+b$ を代入して、

$(A+c)(A^2 - Ac + c^2 - 3ab) = (a+b+c)((a+b)^2 - (a+b)c + c^2 - 3ab)$

$= (a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc + c^2 - 3ab)$

$= (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

3. 最終的な答え

$(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$