与えられた2つの式を因数分解する。 (1) $x^2 - (2a-3)x + a^2 - 3a + 2$ (3) $x^2 - 4x - y^2 - 6y - 5$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解する。

(1) $x^2 - (2a-3)x + a^2 - 3a + 2$

(3) $x^2 - 4x - y^2 - 6y - 5$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - (2a-3)x + a^2 - 3a + 2$ を因数分解する。

まず、$a^2 - 3a + 2$ の部分を因数分解すると、$(a-1)(a-2)$ となる。

次に、全体の式を因数分解することを考える。

$x^2 - (2a-3)x + (a-1)(a-2)$

足して $2a-3$、掛けて $(a-1)(a-2)$ となる2つの数を探す。

$(a-1) + (a-2) = 2a - 3$ なので、これらの2つの数は $a-1$ と $a-2$ である。

したがって、$x^2 - (2a-3)x + (a-1)(a-2) = (x - (a-1))(x - (a-2)) = (x-a+1)(x-a+2)$ となる。

(3) $x^2 - 4x - y^2 - 6y - 5$ を因数分解する。

まず、$x$ の項と $y$ の項をそれぞれ平方完成させることを考える。

$x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$

$-y^2 - 6y = -(y^2 + 6y) = -( (y+3)^2 - 9 ) = -(y+3)^2 + 9$

したがって、$x^2 - 4x - y^2 - 6y - 5 = (x-2)^2 - 4 - (y+3)^2 + 9 - 5 = (x-2)^2 - (y+3)^2$

これは、$(A^2 - B^2) = (A+B)(A-B)$ の形なので、

$(x-2)^2 - (y+3)^2 = ( (x-2) + (y+3) ) ( (x-2) - (y+3) ) = (x - 2 + y + 3) (x - 2 - y - 3) = (x + y + 1) (x - y - 5)$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $(x-a+1)(x-a+2)$

(3) $(x+y+1)(x-y-5)$