与えられた式 $x^3 - 3xy + y^3 + 1$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^3 - 3xy + y^3 + 1$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 + y^3 + 1^3 - 3xy(1)$ の形に注目します。

これは、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ という公式に似ています。

ここで、$a = x$, $b = y$, $c = 1$ とすると、与えられた式は $x^3 + y^3 + 1^3 - 3xy(1)$ と一致します。

したがって、公式を適用できます。

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

$x^3 + y^3 + 1 - 3xy = (x+y+1)(x^2 + y^2 + 1 - xy - y - x)$

よって、$x^3 - 3xy + y^3 + 1 = (x+y+1)(x^2 + y^2 + 1 - xy - x - y)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x+y+1)(x^2 + y^2 - xy - x - y + 1)$