複素数 $z$ の関数 $f(z)$ が $f(z) = \frac{z - \overline{z}}{2i}$ で定義されているとき、$f(z)$ を求めよ。ここで、$\overline{z}$ は $z$ の複素共役を表す。

1. 問題の内容

複素数 $z$ の関数 $f(z)$ が $f(z) = \frac{z - \overline{z}}{2i}$ で定義されているとき、$f(z)$ を求めよ。ここで、$\overline{z}$ は $z$ の複素共役を表す。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を $z = x + iy$ （$x$, $y$ は実数）と表すと、その複素共役 $\overline{z}$ は $\overline{z} = x - iy$ となる。

したがって、

$z - \overline{z} = (x + iy) - (x - iy) = x + iy - x + iy = 2iy$

となる。

これを $f(z)$ の定義式に代入すると、

$f(z) = \frac{2iy}{2i} = y$

となる。

ここで、$y$ は $z$ の虚部であるから、$y = \text{Im}(z)$ と表すことができる。

3. 最終的な答え

$f(z) = y = \text{Im}(z)$