実数全体を全体集合とし、集合 A, B, C が次のように定義されています。 $A = \{x | -2 \le x < 6\}$ $B = \{x | -3 \le x < 5\}$ $C = \{x | k-5 \le x \le k+5\}$ （$k$は定数） (1) 次の集合を求めよ。 (ア) $A \cap B$ (イ) $A \cup B$ (ウ) $\overline{B}$ (エ) $A \cup \overline{B}$ (2) $A \subset C$ となる $k$ の値の範囲を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

実数全体を全体集合とし、集合 A, B, C が次のように定義されています。

$A = \{x | -2 \le x < 6\}$

$B = \{x | -3 \le x < 5\}$

$C = \{x | k-5 \le x \le k+5\}$ （$k$は定数）

(1) 次の集合を求めよ。

(ア) $A \cap B$

(イ) $A \cup B$

(ウ) $\overline{B}$

(エ) $A \cup \overline{B}$

(2) $A \subset C$ となる $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

(ア) $A \cap B$ は、AとBの両方に含まれる要素の集合です。Aは $-2 \le x < 6$、Bは $-3 \le x < 5$ なので、両方に含まれる範囲は $-2 \le x < 5$ です。

$A \cap B = \{x | -2 \le x < 5\}$

(イ) $A \cup B$ は、AまたはBに含まれる要素の集合です。Aは $-2 \le x < 6$、Bは $-3 \le x < 5$ なので、AまたはBに含まれる範囲は $-3 \le x < 6$ です。

$A \cup B = \{x | -3 \le x < 6\}$

(ウ) $\overline{B}$ は、Bに含まれない要素の集合です。Bは $-3 \le x < 5$ なので、$\overline{B}$は $x < -3$ または $x \ge 5$ です。

$\overline{B} = \{x | x < -3 \text{ または } x \ge 5\}$

(エ) $A \cup \overline{B}$ は、Aまたは$\overline{B}$に含まれる要素の集合です。Aは $-2 \le x < 6$、$\overline{B}$は $x < -3$ または $x \ge 5$ です。したがって、Aまたは$\overline{B}$に含まれる範囲は、$x < -3$ または $x \ge -2$ です。

$A \cup \overline{B} = \{x | x < -3 \text{ または } x \ge -2\}$

(2)

$A \subset C$ となるためには、Aのすべての要素がCに含まれる必要があります。つまり、$A = \{x | -2 \le x < 6\}$ が $C = \{x | k-5 \le x \le k+5\}$ に含まれる必要があります。

これは、$k-5 \le -2$ かつ $k+5 \ge 6$ であることが必要十分条件です。

まず、$k-5 \le -2$ を解くと、

$k \le 3$

次に、$k+5 \ge 6$ を解くと、

$k \ge 1$

したがって、$1 \le k \le 3$

3. 最終的な答え

(1)

(ア) $A \cap B = \{x | -2 \le x < 5\}$

(イ) $A \cup B = \{x | -3 \le x < 6\}$

(ウ) $\overline{B} = \{x | x < -3 \text{ または } x \ge 5\}$

(エ) $A \cup \overline{B} = \{x | x < -3 \text{ または } x \ge -2\}$

(2) $1 \le k \le 3$