2次方程式 $x^2 - 2(a+1)x + 3a = 0$ が、$-1 \le x \le 3$ の範囲に2つの異なる実数解をもつような $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2(a+1)x + 3a = 0$ が、$-1 \le x \le 3$ の範囲に2つの異なる実数解をもつような $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式を $f(x) = x^2 - 2(a+1)x + 3a = 0$ とおきます。

この2次方程式が $-1 \le x \le 3$ の範囲に2つの異なる実数解を持つための条件は以下の通りです。

(i) 判別式 $D > 0$

(ii) 軸 $a+1$ が $-1 < a+1 < 3$ を満たす

(iii) $f(-1) > 0$ かつ $f(3) > 0$

(i) 判別式 $D > 0$ より、

$D = 4(a+1)^2 - 4(3a) = 4(a^2 + 2a + 1 - 3a) = 4(a^2 - a + 1) > 0$

$a^2 - a + 1 = (a - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$ より、常に成立します。

(ii) 軸について $-1 < a+1 < 3$ より、$-2 < a < 2$

(iii) $f(-1) > 0$ より、

$(-1)^2 - 2(a+1)(-1) + 3a > 0$

$1 + 2a + 2 + 3a > 0$

$5a + 3 > 0$

$a > -\frac{3}{5}$

$f(3) > 0$ より、

$3^2 - 2(a+1)(3) + 3a > 0$

$9 - 6a - 6 + 3a > 0$

$3 - 3a > 0$

$3 > 3a$

$a < 1$

以上の条件から、$-\frac{3}{5} < a < 1$ かつ $-2 < a < 2$ を満たす $a$ の範囲は、$-\frac{3}{5} < a < 1$ となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{5} < a < 1$