2次関数 $y = x^2 - 2(a-2)x + 2a^2 - 7a$ のグラフ $G$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $G$ の頂点の座標を求め、 $G$ が $x$ 軸と共有点を持つような $a$ の値の範囲を求める。 (2) $G$ が $x$ 軸と共有点を持ち、さらにそのすべての共有点の $x$ 座標が $0$ より大きくなるような $a$ の値の範囲を求める過程における空欄を埋める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2(a-2)x + 2a^2 - 7a$ のグラフ $G$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $G$ の頂点の座標を求め、 $G$ が $x$ 軸と共有点を持つような $a$ の値の範囲を求める。

(2) $G$ が $x$ 軸と共有点を持ち、さらにそのすべての共有点の $x$ 座標が $0$ より大きくなるような $a$ の値の範囲を求める過程における空欄を埋める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^2 - 2(a-2)x + 2a^2 - 7a$ を平方完成します。

$y = \{x - (a-2)\}^2 - (a-2)^2 + 2a^2 - 7a$

$y = \{x - (a-2)\}^2 - (a^2 - 4a + 4) + 2a^2 - 7a$

$y = \{x - (a-2)\}^2 + a^2 - 3a - 4$

したがって、頂点の座標は $(a-2, a^2 - 3a - 4)$ となります。ア=a, イ=2, ウ=a^2-3a-4

次に、$G$ が $x$ 軸と共有点を持つ条件を求めます。

$a^2 - 3a - 4 \le 0$

$(a-4)(a+1) \le 0$

$-1 \le a \le 4$

したがって、 $a$ の値の範囲は $-1 \le a \le 4$ となります。エ=-1, オ=4, カ=5

(2)

$G$ が $x$ 軸と共有点を持つ条件は、判別式 $D \ge 0$ であることです。

すべての共有点の $x$ 座標が $0$ より大きくなるためには、以下の3つの条件が必要です。

1. 判別式 $D \ge 0$

2. 軸の位置 > 0

3. $f(0) > 0$

軸の方程式は $x = a - 2$ なので、$a - 2 > 0$ より $a > 2$ が必要です。したがって、ケ=1 (>)。

$f(0) = 2a^2 - 7a > 0$

$a(2a - 7) > 0$

$a < 0$ または $a > \frac{7}{2}$

したがって、サは $2a^2 - 7a > 0$。

$a > 2$ と $a < 0$ または $a > \frac{7}{2}$ より、$a > \frac{7}{2}$。

$-1 \le a \le 4$ と $a > \frac{7}{2}$ より $\frac{7}{2} < a \le 4$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(a-2, a^2 - 3a - 4)$

$a$ の値の範囲: $-1 \le a \le 4$

(2) ケ: 1

サ〜セ: $\frac{7}{2} < a \le 4$、よって $a$ の範囲は$\frac{7}{2} < a \le 4$。

したがって、サ=$7/2$、セ=$4$。