与えられた式を計算して、最も簡単な形で表してください。 与えられた式は、 $\frac{1}{(x-3)(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+3)}$ です。

1. 問題の内容

与えられた式を計算して、最も簡単な形で表してください。

与えられた式は、

$\frac{1}{(x-3)(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+3)}$

です。

2. 解き方の手順

各項を部分分数に分解します。

$\frac{1}{(x-3)(x-1)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x-1}$ とおくと、

$1 = A(x-1) + B(x-3)$ となります。

$x = 3$ のとき、$1 = 2A$ なので、$A = \frac{1}{2}$

$x = 1$ のとき、$1 = -2B$ なので、$B = -\frac{1}{2}$

したがって、$\frac{1}{(x-3)(x-1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-1} \right)$

同様に、

$\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{C}{x-1} + \frac{D}{x+1}$ とおくと、

$1 = C(x+1) + D(x-1)$ となります。

$x = 1$ のとき、$1 = 2C$ なので、$C = \frac{1}{2}$

$x = -1$ のとき、$1 = -2D$ なので、$D = -\frac{1}{2}$

したがって、$\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right)$

$\frac{1}{(x+1)(x+3)} = \frac{E}{x+1} + \frac{F}{x+3}$ とおくと、

$1 = E(x+3) + F(x+1)$ となります。

$x = -1$ のとき、$1 = 2E$ なので、$E = \frac{1}{2}$

$x = -3$ のとき、$1 = -2F$ なので、$F = -\frac{1}{2}$

したがって、$\frac{1}{(x+1)(x+3)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3} \right)$

これらの結果を元の式に代入すると、

$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-1} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x+3} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{(x+3) - (x-3)}{(x-3)(x+3)} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{6}{x^2-9} \right)$

$= \frac{3}{x^2-9}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{x^2-9}$