与えられた式を計算して簡単にします。 与えられた式は、 $\frac{x+5}{x^2 - 2x - 3} + \frac{1}{x^2 + 3x + 2}$ です。

1. 問題の内容

与えられた式を計算して簡単にします。

与えられた式は、

$\frac{x+5}{x^2 - 2x - 3} + \frac{1}{x^2 + 3x + 2}$

です。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$

$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$

与えられた式は次のようになります。

$\frac{x+5}{(x-3)(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)}$

次に、分母を共通化します。共通分母は $(x-3)(x+1)(x+2)$ となります。

$\frac{(x+5)(x+2)}{(x-3)(x+1)(x+2)} + \frac{(x-3)}{(x+1)(x+2)(x-3)}$

分子を計算します。

$(x+5)(x+2) = x^2 + 2x + 5x + 10 = x^2 + 7x + 10$

したがって、

$\frac{x^2 + 7x + 10}{(x-3)(x+1)(x+2)} + \frac{x-3}{(x-3)(x+1)(x+2)}$

これらを足し合わせます。

$\frac{x^2 + 7x + 10 + x - 3}{(x-3)(x+1)(x+2)} = \frac{x^2 + 8x + 7}{(x-3)(x+1)(x+2)}$

分子を因数分解します。

$x^2 + 8x + 7 = (x+1)(x+7)$

したがって、

$\frac{(x+1)(x+7)}{(x-3)(x+1)(x+2)}$

$x+1$をキャンセルします。

$\frac{x+7}{(x-3)(x+2)} = \frac{x+7}{x^2 -3x + 2x - 6} = \frac{x+7}{x^2 - x - 6}$

3. 最終的な答え

$\frac{x+7}{x^2 - x - 6}$