$4 + \sqrt{3}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とするとき、以下の値を求めます。 (1) $a$ (2) $b$ (3) $b^2 + 4b$

1. 問題の内容

$4 + \sqrt{3}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とするとき、以下の値を求めます。

(1) $a$

(2) $b$

(3) $b^2 + 4b$

2. 解き方の手順

(1) $a$ を求める。

$\sqrt{3}$ の値について、$1 < \sqrt{3} < 2$ である。

したがって、$4+1 < 4+\sqrt{3} < 4+2$ より、$5 < 4+\sqrt{3} < 6$ となる。

よって、$4+\sqrt{3}$ の整数の部分は 5 である。

$a = 5$

(2) $b$ を求める。

小数部分 $b$ は、$4+\sqrt{3}$ から整数部分 $a$ を引いたものである。

$b = (4+\sqrt{3}) - a = (4+\sqrt{3}) - 5 = \sqrt{3} - 1$

(3) $b^2 + 4b$ を求める。

$b = \sqrt{3} - 1$ を代入する。

$b^2 + 4b = (\sqrt{3} - 1)^2 + 4(\sqrt{3} - 1)$

$= (3 - 2\sqrt{3} + 1) + (4\sqrt{3} - 4)$

$= 4 - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 4$

$= 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 5$

(2) $b = \sqrt{3} - 1$

(3) $b^2 + 4b = 2\sqrt{3}$