(1) 初項が3、公比が4、項数がnである等比数列の和を求めます。 (2) 等比数列 $1, a, a^2, \dots$ の初項から第n項までの和を求めます。 (3) 等比数列 $27, 9, 3, \dots$ の第6項から第10項までの和を求めます。

1. 問題の内容

(1) 初項が3、公比が4、項数がnである等比数列の和を求めます。

(2) 等比数列 $1, a, a^2, \dots$ の初項から第n項までの和を求めます。

(3) 等比数列 $27, 9, 3, \dots$ の第6項から第10項までの和を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$ を用います。ここで、初項 $a = 3$, 公比 $r = 4$, 項数 $n = n$ です。

$S_n = \frac{3(4^n - 1)}{4 - 1} = \frac{3(4^n - 1)}{3} = 4^n - 1$

(2) 等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$ を用います。ここで、初項 $a = 1$, 公比 $r = a$, 項数 $n = n$ です。

$S_n = \frac{1(a^n - 1)}{a - 1} = \frac{a^n - 1}{a - 1}$

(3) まず、等比数列 $27, 9, 3, \dots$ の一般項を求めます。初項 $a = 27$, 公比 $r = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$ です。一般項 $a_n = a r^{n-1} = 27 \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$ です。

第6項は $a_6 = 27 \left(\frac{1}{3}\right)^{6-1} = 27 \left(\frac{1}{3}\right)^5 = 27 \cdot \frac{1}{243} = \frac{1}{9}$

第10項は $a_{10} = 27 \left(\frac{1}{3}\right)^{10-1} = 27 \left(\frac{1}{3}\right)^9 = 27 \cdot \frac{1}{19683} = \frac{1}{729}$

求める和は、第6項から第10項までの和なので、$S = a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10}$ です。これは、初項 $a_6 = \frac{1}{9}$, 公比 $r = \frac{1}{3}$, 項数 $n = 5$ の等比数列の和です。

$S = \frac{\frac{1}{9}\left( \left(\frac{1}{3}\right)^5 - 1 \right)}{\frac{1}{3} - 1} = \frac{\frac{1}{9}\left( \frac{1}{243} - 1 \right)}{-\frac{2}{3}} = \frac{\frac{1}{9}\left( \frac{1 - 243}{243} \right)}{-\frac{2}{3}} = \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{-242}{243}}{-\frac{2}{3}} = \frac{\frac{-242}{2187}}{-\frac{2}{3}} = \frac{-242}{2187} \cdot \frac{-3}{2} = \frac{242}{2187} \cdot \frac{3}{2} = \frac{121}{729} \cdot \frac{1}{1} = \frac{121}{729}$

3. 最終的な答え

(1) $4^n - 1$

(2) $\frac{a^n - 1}{a - 1}$

(3) $\frac{121}{729}$