$A = x^2 + y$, $B = 2 + y - y^2$, $C = 4x + 1$ とする。 (1) $A + B + C$ を因数分解せよ。 (2) $ABC$ を展開した多項式は、$x$ に着目すると何次式か。また、そのときの $x$ の項の係数と定数項は何か。

1. 問題の内容

$A = x^2 + y$, $B = 2 + y - y^2$, $C = 4x + 1$ とする。

(1) $A + B + C$ を因数分解せよ。

(2) $ABC$ を展開した多項式は、$x$ に着目すると何次式か。また、そのときの $x$ の項の係数と定数項は何か。

2. 解き方の手順

(1) $A + B + C$ を計算し、因数分解する。

$A + B + C = (x^2 + y) + (2 + y - y^2) + (4x + 1) = x^2 + 4x - y^2 + 2y + 3$

$x^2 + 4x - y^2 + 2y + 3 = (x^2 + 4x + 4) - (y^2 - 2y + 1) = (x+2)^2 - (y-1)^2 = (x + 2 + y - 1)(x + 2 - y + 1) = (x + y + 1)(x - y + 3)$

(2) $ABC$ を展開した多項式を考える。

$A = x^2 + y$, $B = 2 + y - y^2$, $C = 4x + 1$

$ABC = (x^2 + y)(2 + y - y^2)(4x + 1)$

$x$ に着目すると、$x^2(4x) = 4x^3$ が最高次なので、3次式である。

$x$ の項の係数を求める。$x$ の項は、$(x^2) \times (2 + y - y^2) \times$ (なし) $+ (y) \times (2 + y - y^2) \times (4x)$ で表される。

$x$ の項の係数は、$4y(2+y-y^2)= 8y + 4y^2 - 4y^3$ となる。

定数項は、$y(2 + y - y^2) = 2y + y^2 - y^3$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $(x+y+1)(x-y+3)$

(2) $x$に着目すると3次式である。$x$の項の係数は$8y+4y^2-4y^3$であり、定数項は$2y+y^2-y^3$である。