$\alpha$が第4象限にあり、$\cos \alpha = \frac{12}{13}$ のとき、$\cos 2\alpha$の値を求めます。

1. 問題の内容

$\alpha$が第4象限にあり、$\cos \alpha = \frac{12}{13}$ のとき、$\cos 2\alpha$の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\sin \alpha$ の値を求めます。$\alpha$は第4象限にあるので、$\sin \alpha$ は負の値をとります。

三角関数の基本的な恒等式 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ を利用します。

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$

$\sin^2 \alpha = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$

$\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{25}{169}} = \pm \frac{5}{13}$

$\alpha$は第4象限にあるので、$\sin \alpha = -\frac{5}{13}$

次に、$\cos 2\alpha$ の値を求めます。

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$という倍角の公式を利用します。

$\cos 2\alpha = (\frac{12}{13})^2 - (-\frac{5}{13})^2 = \frac{144}{169} - \frac{25}{169} = \frac{144 - 25}{169} = \frac{119}{169}$

3. 最終的な答え

$\cos 2\alpha = \frac{119}{169}$