行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 \\ 3 & 2 & 4 \end{pmatrix}$ が与えられています。 問1では、行列の積 $AB$ と $BA$ を求めます。 問2では、$A^2$, $A^4$, $A^{30}$ を求めます。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 \\ 3 & 2 & 4 \end{pmatrix}$ が与えられています。

問1では、行列の積 $AB$ と $BA$ を求めます。

問2では、$A^2$, $A^4$, $A^{30}$ を求めます。

2. 解き方の手順

問1:

行列の積 $AB$ を計算します。

$A$ は 2x2 行列、$B$ は 2x3 行列なので、$AB$ は 2x3 行列になります。

$AB = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 \\ 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -2 & -4 \\ 1 & -3 & 0 \end{pmatrix}$

行列の積 $BA$ を計算します。

$B$ は 2x3 行列、$A$ は 2x2 行列なので、$BA$ は定義できません。

問2:

$A^2 = AA = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -E$ (ただし、$E$ は単位行列)

$A^4 = (A^2)^2 = (-E)^2 = E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{30} = (A^4)^7 A^2 = E^7 A^2 = A^2 = -E = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

問1:

$AB = \begin{pmatrix} -3 & -2 & -4 \\ 1 & -3 & 0 \end{pmatrix}$

$BA$ は定義できない。

問2:

$A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$A^4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{30} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$