問題は、$\frac{|-a + 2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{a^2 - 2a + 1}$ を満たす $a$ を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、$\frac{|-a + 2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{a^2 - 2a + 1}$ を満たす $a$ を求めることです。

2. 解き方の手順

まず、右辺を簡単にします。

$a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$ であるので、

$\sqrt{a^2 - 2a + 1} = \sqrt{(a-1)^2} = |a-1|$

したがって、問題の式は

$\frac{|-a+2|}{\sqrt{2}} = |a-1|$

両辺に$\sqrt{2}$を掛けると

$|-a+2| = \sqrt{2}|a-1|$

絶対値を外すために、場合分けを行います。

(i) $-a + 2 \geq 0$ かつ $a-1 \geq 0$、すなわち $1 \leq a \leq 2$ のとき

$-a+2 = \sqrt{2}(a-1)$

$-a+2 = \sqrt{2}a - \sqrt{2}$

$2 + \sqrt{2} = (\sqrt{2} + 1)a$

$a = \frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{2\sqrt{2} - 2 + 2 - \sqrt{2}}{2-1} = \sqrt{2}$

$1 \leq a \leq 2$を満たしているので、$a = \sqrt{2}$ は解。

(ii) $-a + 2 < 0$ かつ $a-1 \geq 0$、すなわち $a > 2$ のとき

$a-2 = \sqrt{2}(a-1)$

$a-2 = \sqrt{2}a - \sqrt{2}$

$\sqrt{2}-2 = (\sqrt{2}-1)a$

$a = \frac{\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{2 + \sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 2}{2-1} = -\sqrt{2}$

$a > 2$を満たさないので、解ではない。

(iii) $-a + 2 \geq 0$ かつ $a-1 < 0$、すなわち $a < 1$ のとき

$-a+2 = \sqrt{2}(1-a)$

$-a+2 = \sqrt{2} - \sqrt{2}a$

$( \sqrt{2}-1 ) a = \sqrt{2} - 2$

$a = \frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 1} = -\sqrt{2}$

$a < 1$を満たすので、$a = -\sqrt{2}$ は解。

(iv) $-a + 2 < 0$ かつ $a-1 < 0$、すなわち $a > 2$ かつ $a < 1$ となり、これは起こりえない。

3. 最終的な答え

$a = \sqrt{2}, -\sqrt{2}$