与えられた不等式 $-x^2 + 400x - 27500 \geq 6100$ を満たす $x$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $-x^2 + 400x - 27500 \geq 6100$ を満たす $x$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、不等式を整理します。

$-x^2 + 400x - 27500 \geq 6100$

$-x^2 + 400x - 27500 - 6100 \geq 0$

$-x^2 + 400x - 33600 \geq 0$

両辺に $-1$ を掛けて、不等号の向きを変えます。

$x^2 - 400x + 33600 \leq 0$

次に、2次式 $x^2 - 400x + 33600$ を因数分解します。

$x^2 - 400x + 33600 = (x - 80)(x - 420)$

したがって、不等式は

$(x - 80)(x - 420) \leq 0$

となります。

この不等式を満たす $x$ の範囲を求めるには、2次関数 $y = (x - 80)(x - 420)$ のグラフを考えます。このグラフは下に凸な放物線であり、$x$軸との交点は $x = 80$ と $x = 420$ です。不等式 $(x - 80)(x - 420) \leq 0$ を満たす $x$ の範囲は、この放物線が $x$軸の下にある部分、つまり $80 \leq x \leq 420$ です。

3. 最終的な答え

$80 \leq x \leq 420$