花子さんと太郎さんが文化祭でたい焼きの模擬店を出すことになり、たい焼きの価格設定を検討している。過去の文化祭での価格と売り上げ数のデータをもとに、売り上げ数を価格の一次関数で表し、利益を最大にする価格や、一定以上の利益を確保できる価格帯などを計算する問題です。 具体的には、以下の内容を求める必要があります。 * (1) 1個あたりの価格を $x$ 円とした時の売り上げ数（アイウ） * (3) 利益が最大になる価格（シスセ）と、その時の利益（ソタチツテ） * (4) 利益が6100円以上となる最も安い価格（トナニ） さらに、利益 $y$ を $x$ の式で表す必要があります。

1. 問題の内容

花子さんと太郎さんが文化祭でたい焼きの模擬店を出すことになり、たい焼きの価格設定を検討している。過去の文化祭での価格と売り上げ数のデータをもとに、売り上げ数を価格の一次関数で表し、利益を最大にする価格や、一定以上の利益を確保できる価格帯などを計算する問題です。

具体的には、以下の内容を求める必要があります。

* (1) 1個あたりの価格を $x$ 円とした時の売り上げ数（アイウ）

* (3) 利益が最大になる価格（シスセ）と、その時の利益（ソタチツテ）

* (4) 利益が6100円以上となる最も安い価格（トナニ）

さらに、利益 $y$ を $x$ の式で表す必要があります。

2. 解き方の手順

(1) 売り上げ数について

1個あたりの価格が50円上がると売り上げ数が50個減るので、売り上げ数は価格 $x$ の一次関数で表されると仮定されています。

1個あたりの価格が100円の時、売り上げ数は250個であることから、一次関数を $y = -x + m$ と置くと、$250 = -100 + m$ より $m = 350$ が得られます。

したがって、売り上げ数は $y = 350 - x$ となります。

(2) 利益の計算式を求める。

利益 $y$ は、売り上げ金額から必要な経費を引いたものです。

売り上げ金額は、$x(350 - x) = 350x - x^2$ です。

経費は、材料費とレンタル料の合計です。

材料費は、売り上げ数 $350 - x$ に、1個あたりの材料費50円を掛けたものです。$50(350 - x) = 17500 - 50x$

レンタル料は10000円です。

したがって、経費は $17500 - 50x + 10000 = 27500 - 50x$ です。

利益 $y$ は、売り上げ金額から経費を引いたものなので、$y = (350x - x^2) - (27500 - 50x) = -x^2 + 400x - 27500$

(3) 利益が最大になる価格を求める。

利益 $y = -x^2 + 400x - 27500$ を平方完成させます。

$y = -(x^2 - 400x) - 27500 = -(x^2 - 400x + 40000 - 40000) - 27500 = -(x - 200)^2 + 40000 - 27500 = -(x - 200)^2 + 12500$

利益が最大になるのは、$x = 200$ の時で、その時の利益は $12500$ 円です。

(4) 利益が6100円以上となる最も安い価格を求める。

$y = -x^2 + 400x - 27500 \ge 6100$

$-x^2 + 400x - 33600 \ge 0$

$x^2 - 400x + 33600 \le 0$

$(x - 80)(x - 420) \le 0$

よって、$80 \le x \le 320$となります。

利益が6100円以上となる最も安い価格は $x = 80$ 円です。

3. 最終的な答え

* (1) アイウ: 350 - x

* (3) シスセ: 200, ソタチツテ: 12500

* (4) トナニ: 80