多項式 $A$ を $x^2 + x + 1$ で割ったときの商が $x-1$、余りが $2x+1$ である。このとき、多項式 $A$ を求める。

1. 問題の内容

多項式 $A$ を $x^2 + x + 1$ で割ったときの商が $x-1$、余りが $2x+1$ である。このとき、多項式 $A$ を求める。

2. 解き方の手順

多項式 $A$ を割る式を $B(x)$、商を $Q(x)$、余りを $R(x)$ とすると、

$A = B(x)Q(x) + R(x)$

という関係が成り立つ。今回の問題では、

$B(x) = x^2 + x + 1$

$Q(x) = x - 1$

$R(x) = 2x + 1$

であるから、

$A = (x^2 + x + 1)(x - 1) + (2x + 1)$

を展開して整理することで $A$ を求める。

まず、$(x^2 + x + 1)(x - 1)$ を計算する。

$(x^2 + x + 1)(x - 1) = x^2(x - 1) + x(x - 1) + (x - 1)$

$= x^3 - x^2 + x^2 - x + x - 1$

$= x^3 - 1$

次に、 $A$ を求める。

$A = x^3 - 1 + 2x + 1$

$= x^3 + 2x$

3. 最終的な答え

$A = x^3 + 2x$