多項式 $2x^3 - x^2 - 15x - 7$ を多項式 $B$ で割ると、商が $2x+3$、余りが $-3x+2$ である。このとき、$B$ を求める。

1. 問題の内容

多項式 $2x^3 - x^2 - 15x - 7$ を多項式 $B$ で割ると、商が $2x+3$、余りが $-3x+2$ である。このとき、$B$ を求める。

2. 解き方の手順

多項式の割り算の基本の関係式は、

$$$$

(割られる数) = (割る数) \times (商) + (余り)

$$$$

である。問題文から、

$2x^3 - x^2 - 15x - 7 = B(2x+3) + (-3x+2)$

が成り立つ。

まず、この式を $B(2x+3)$ について解く。

$B(2x+3) = 2x^3 - x^2 - 15x - 7 - (-3x+2)$

$B(2x+3) = 2x^3 - x^2 - 15x - 7 + 3x - 2$

$B(2x+3) = 2x^3 - x^2 - 12x - 9$

したがって、$B$ は、$2x^3 - x^2 - 12x - 9$ を $2x+3$ で割った商に等しい。

筆算で $2x^3 - x^2 - 12x - 9$ を $2x+3$ で割ると、

$2x^3 - x^2 - 12x - 9 = (2x+3)(x^2-2x-3)$ となる。

したがって、 $B = x^2 - 2x - 3$ である。

3. 最終的な答え

$B = x^2 - 2x - 3$