放物線 $y = x^2$ と直線 $y = -3x + m$ が接するとき、定数 $m$ の値を求め、その接点の座標を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ と直線 $y = -3x + m$ が接するとき、定数 $m$ の値を求め、その接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

2つのグラフが接するということは、$x^2 = -3x + m$ という方程式が重解を持つということです。

この方程式を整理すると、

$x^2 + 3x - m = 0$

となります。

この2次方程式の判別式 $D$ が $0$ となれば、重解を持つことになります。

判別式 $D$ は

$D = 3^2 - 4(1)(-m) = 9 + 4m$

したがって、$9 + 4m = 0$ となる $m$ の値を求めます。

$4m = -9$

$m = -\frac{9}{4}$

次に、接点の座標を求めます。

$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = 0$

$(x + \frac{3}{2})^2 = 0$

$x = -\frac{3}{2}$

$y = x^2$ に $x = -\frac{3}{2}$ を代入すると、

$y = (-\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

$m = -\frac{9}{4}$

接点の座標は $(-\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$