$x = 2a + 1$のとき、$\sqrt{x^2 - 8a} + \sqrt{a^2 + x}$を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$x = 2a + 1$のとき、$\sqrt{x^2 - 8a} + \sqrt{a^2 + x}$を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

与えられた式に$x = 2a + 1$を代入して、式を整理し、平方根の中を整理する。

まず、$\sqrt{x^2 - 8a}$を計算する。

$x^2 = (2a + 1)^2 = 4a^2 + 4a + 1$

$\sqrt{x^2 - 8a} = \sqrt{4a^2 + 4a + 1 - 8a} = \sqrt{4a^2 - 4a + 1} = \sqrt{(2a - 1)^2} = |2a - 1|$

次に、$\sqrt{a^2 + x}$を計算する。

$\sqrt{a^2 + x} = \sqrt{a^2 + 2a + 1} = \sqrt{(a+1)^2} = |a + 1|$

したがって、$\sqrt{x^2 - 8a} + \sqrt{a^2 + x} = |2a - 1| + |a + 1|$となる。

絶対値を外すために、$a$の値の範囲で場合分けをすることを考える。問題文に$a$の範囲の指定がないため、以下のように場合分けして考える。

1. $a < -1$のとき、$2a - 1 < -3$より$|2a - 1| = -(2a - 1)$、$a + 1 < 0$より$|a + 1| = -(a + 1)$となる。

$\sqrt{x^2 - 8a} + \sqrt{a^2 + x} = -(2a - 1) - (a + 1) = -2a + 1 - a - 1 = -3a$

2. $-1 \leq a < \frac{1}{2}$のとき、$2a - 1 < 0$より$|2a - 1| = -(2a - 1)$、$a + 1 \geq 0$より$|a + 1| = a + 1$となる。

$\sqrt{x^2 - 8a} + \sqrt{a^2 + x} = -(2a - 1) + (a + 1) = -2a + 1 + a + 1 = -a + 2$

3. $a \geq \frac{1}{2}$のとき、$2a - 1 \geq 0$より$|2a - 1| = 2a - 1$、$a + 1 > 0$より$|a + 1| = a + 1$となる。

$\sqrt{x^2 - 8a} + \sqrt{a^2 + x} = (2a - 1) + (a + 1) = 2a - 1 + a + 1 = 3a$

問題文から$a$の条件が不明であるため、$a \geq -1$と仮定すると、$|a+1|=a+1$であり、

$\sqrt{x^2-8a} = \sqrt{(2a-1)^2} = |2a-1|$なので、$a < \frac{1}{2}$の場合と、$a \geq \frac{1}{2}$の場合で場合分けする。

もし、$a \geq \frac{1}{2}$であれば、$\sqrt{x^2 - 8a} + \sqrt{a^2 + x} = 2a - 1 + a + 1 = 3a$

もし、$a < \frac{1}{2}$であれば、$\sqrt{x^2 - 8a} + \sqrt{a^2 + x} = -(2a - 1) + a + 1 = -2a + 1 + a + 1 = -a + 2$

もし、$a$の範囲が特に指定されていなければ場合分けして考える必要がある。

3. 最終的な答え

問題文から$a$の範囲の指定がないため、$a$の範囲によって答えが異なる。

$a < -1$のとき、$-3a$

$-1 \leq a < \frac{1}{2}$のとき、$-a + 2$

$a \geq \frac{1}{2}$のとき、$3a$

もし、$a\geq -1$であることがわかっていれば、$3a$ ($a \geq \frac{1}{2}$), $-a+2$ ($-1 \leq a < \frac{1}{2}$)

$a \geq \frac{1}{2}$と仮定した場合、$3a$