整数を要素とする2つの集合A, Bが与えられている。 $A = \{2, 5, a^2\}$ $B = \{4, a-1, a+b, 9\}$ また、$A \cap B = \{5, 9\}$ である。 (1) 定数$a, b$の値を求めよ。 (2) $A \cup B$を求めよ。

1. 問題の内容

整数を要素とする2つの集合A, Bが与えられている。

$A = \{2, 5, a^2\}$

$B = \{4, a-1, a+b, 9\}$

また、$A \cap B = \{5, 9\}$ である。

(1) 定数$a, b$の値を求めよ。

(2) $A \cup B$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B = \{5, 9\}$より、集合Aと集合Bはともに5と9を要素として持つ。

集合Aにおいて、$2$と$5$以外の要素は$a^2$のみであるから、$a^2 = 9$でなければならない。

したがって、$a = 3$ または $a = -3$。

$a = 3$のとき、集合Bは$B = \{4, 3-1, 3+b, 9\} = \{4, 2, 3+b, 9\}$となる。

$A \cap B = \{5, 9\}$より、4と2は$A$の要素ではないので、$a=3$は不適。

$a = -3$のとき、集合Bは$B = \{4, -3-1, -3+b, 9\} = \{4, -4, -3+b, 9\}$となる。

$A \cap B = \{5, 9\}$より、$4$と$-4$は$A$の要素ではない。

集合Aは$A = \{2, 5, 9\}$となる。

$B$の中に$5$が必要である。

$-3+b = 5$より、$b = 8$。

$a = -3$、 $b = 8$のとき、$A = \{2, 5, 9\}$、$B = \{4, -4, 5, 9\}$となる。

このとき、$A \cap B = \{5, 9\}$を満たす。

(2) $A \cup B$は、AとBのすべての要素を含む集合である。

$A = \{2, 5, 9\}$、$B = \{4, -4, 5, 9\}$より、$A \cup B = \{-4, 2, 4, 5, 9\}$となる。

3. 最終的な答え

(1) $a = -3$, $b = 8$

(2) $A \cup B = \{-4, 2, 4, 5, 9\}$