与えられた3つの式をそれぞれ因数分解する問題です。 (1) $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$ (2) $(a+b-c)(ab-bc-ca)+abc$ (3) $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$

1. 問題の内容

与えられた3つの式をそれぞれ因数分解する問題です。

(1) $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$

(2) $(a+b-c)(ab-bc-ca)+abc$

(3) $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$

2. 解き方の手順

(1)

まず、式を展開します。

$a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 2abc$

$a$について整理します。

$(b+c)a^2 + (b^2+c^2+2bc)a + (b^2c + c^2b)$

$(b+c)a^2 + (b+c)^2 a + bc(b+c)$

$(b+c)$でくくります。

$(b+c)[a^2 + (b+c)a + bc]$

$(b+c)[a^2 + ba + ca + bc]$

$(b+c)[a(a+b) + c(a+b)]$

$(b+c)(a+b)(a+c)$

よって、$(a+b)(b+c)(c+a)$

(2)

式を展開します。

$(a+b-c)(ab-bc-ca) + abc$

$= a^2b - abc - ca^2 + ab^2 - b^2c - abc - abc + bc^2 + c^2a + abc$

$= a^2b - abc - ca^2 + ab^2 - b^2c - abc - abc + bc^2 + c^2a + abc$

$= a^2b + ab^2 + bc^2 + c^2a - a^2c - b^2c - 2abc$

因数分解の公式を用いて、

$(a-b)(b-c)(a-c)$

$= (a-c)(b-a)(b-c) = -(a-c)(a-b)(b-c) = (a-b)(b-c)(c-a)$

したがって、$(a-b)(b-c)(a-c)$となる。

別解：$(a-b)(b-c)(c-a)$

(3)

式を展開します。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$

$= a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

$= a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 3abc$

これは(1)と似ていますが、abcの係数が異なります。

$a$について整理します。

$(b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + b^2c + bc^2$

$(b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + bc(b+c)$

$(b+c)[a^2 + (\frac{b^2+c^2+3bc}{b+c})a + bc]$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$の形を予想して、展開してみます。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b)(bc+c^2+b^2+bc) = (a+b)(b^2+c^2+2bc) = (a+b)(b+c)^2$

$= (a+b)(b+c)(a+c) = a^2b + a^2c + b^2c + c^2a + ab^2 + ac^2 + 2abc$

$= (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

$= a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

$= (a+b+c)(ab+bc+ca)$

3. 最終的な答え

(1) $(a+b)(b+c)(c+a)$

(2) $(a-b)(b-c)(a-c)$ または $(a-b)(b-c)(c-a)$

(3) $(a+b+c)(ab+bc+ca)$