与えられた式 $x^2 + 5xy + 6y^2 - 2x - 7y - 3$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 5xy + 6y^2 - 2x - 7y - 3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、2次式 $x^2 + 5xy + 6y^2$ の部分を因数分解します。

これは、$x$ についての2次式と見て、$(x + ay)(x + by)$ の形に因数分解できるか考えます。

$ab = 6$ かつ $a+b = 5$ を満たす $a, b$ を探すと、$a = 2$, $b = 3$ が見つかります。

したがって、$x^2 + 5xy + 6y^2 = (x + 2y)(x + 3y)$ と因数分解できます。

元の式は、

$(x + 2y)(x + 3y) - 2x - 7y - 3$

となります。

次に、この式が $(x + 2y + c)(x + 3y + d)$ の形に因数分解できると仮定します。

展開すると、

$(x + 2y + c)(x + 3y + d) = x^2 + 5xy + 6y^2 + (c + d)x + (3c + 2d)y + cd$

となります。

したがって、

$c + d = -2$

$3c + 2d = -7$

$cd = -3$

という連立方程式が得られます。

最初の2つの式から $c$ と $d$ を求めます。

$c = -2 - d$ を $3c + 2d = -7$ に代入すると、

$3(-2 - d) + 2d = -7$

$-6 - 3d + 2d = -7$

$-d = -1$

$d = 1$

$c = -2 - 1 = -3$

したがって、$c = -3$, $d = 1$ となります。

$cd = (-3)(1) = -3$ であり、これは3つ目の式を満たします。

したがって、因数分解の結果は $(x + 2y - 3)(x + 3y + 1)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x + 2y - 3)(x + 3y + 1)$