与えられた式が $x$ に関する恒等式であるとき、定数 $A$, $B$, $C$ の値を求める問題です。 与えられた式は以下の通りです。 $\frac{3x^2-2x+4}{(x+1)(x-1)^2} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}$

1. 問題の内容

与えられた式が $x$ に関する恒等式であるとき、定数 $A$, $B$, $C$ の値を求める問題です。

与えられた式は以下の通りです。

$\frac{3x^2-2x+4}{(x+1)(x-1)^2} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}$

2. 解き方の手順

まず、両辺に $(x+1)(x-1)^2$ を掛けます。

$3x^2 - 2x + 4 = A(x-1)^2 + B(x+1)(x-1) + C(x+1)$

$3x^2 - 2x + 4 = A(x^2 - 2x + 1) + B(x^2 - 1) + C(x+1)$

$3x^2 - 2x + 4 = Ax^2 - 2Ax + A + Bx^2 - B + Cx + C$

$3x^2 - 2x + 4 = (A+B)x^2 + (-2A+C)x + (A-B+C)$

この式が恒等式であるためには、$x^2$, $x$, 定数項の係数がそれぞれ等しくなければなりません。したがって、以下の連立方程式が得られます。

$A+B = 3$

$-2A+C = -2$

$A-B+C = 4$

1つ目の式と3つ目の式を足し合わせると、

$A+B + A-B+C = 3+4$

$2A + C = 7$

$-2A+C = -2$ と $2A+C = 7$ を足し合わせると

$2C = 5$

$C = \frac{5}{2}$

$-2A + \frac{5}{2} = -2$

$-2A = -2 - \frac{5}{2} = -\frac{9}{2}$

$A = \frac{9}{4}$

$A+B = 3$ より

$B = 3 - A = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12}{4} - \frac{9}{4} = \frac{3}{4}$

したがって、$A = \frac{9}{4}$, $B = \frac{3}{4}$, $C = \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

$A = \frac{9}{4}$, $B = \frac{3}{4}$, $C = \frac{5}{2}$