$x$ が次の範囲のとき、$\sqrt{x^2-2x+1} - \sqrt{x^2+4x+4}$ を簡単にせよ。 (ア) $x \ge 1$ (イ) $-2 < x < 1$ (ウ) $x \le -2$

1. 問題の内容

$x$ が次の範囲のとき、$\sqrt{x^2-2x+1} - \sqrt{x^2+4x+4}$ を簡単にせよ。

(ア) $x \ge 1$

(イ) $-2 < x < 1$

(ウ) $x \le -2$

2. 解き方の手順

まず、根号の中身を因数分解します。

$\sqrt{x^2-2x+1} = \sqrt{(x-1)^2} = |x-1|$

$\sqrt{x^2+4x+4} = \sqrt{(x+2)^2} = |x+2|$

したがって、与えられた式は $|x-1| - |x+2|$ となります。

(ア) $x \ge 1$ のとき、$x-1 \ge 0$ なので $|x-1| = x-1$ であり、$x+2 > 0$ なので $|x+2| = x+2$ です。したがって、

$|x-1| - |x+2| = (x-1) - (x+2) = x - 1 - x - 2 = -3$

(イ) $-2 < x < 1$ のとき、$x-1 < 0$ なので $|x-1| = -(x-1) = 1-x$ であり、$x+2 > 0$ なので $|x+2| = x+2$ です。したがって、

$|x-1| - |x+2| = (1-x) - (x+2) = 1 - x - x - 2 = -2x - 1$

(ウ) $x \le -2$ のとき、$x-1 < 0$ なので $|x-1| = -(x-1) = 1-x$ であり、$x+2 \le 0$ なので $|x+2| = -(x+2) = -x-2$ です。したがって、

$|x-1| - |x+2| = (1-x) - (-x-2) = 1 - x + x + 2 = 3$

3. 最終的な答え

(ア) $x \ge 1$ のとき、$-3$

(イ) $-2 < x < 1$ のとき、$-2x - 1$

(ウ) $x \le -2$ のとき、$3$