与えられた式を因数分解します。 (2) $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc$ (3) $a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc$ (4) $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$

はい、承知しました。それでは、問題46の(2), (3), (4)を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解します。

(2) $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc$

(3) $a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc$

(4) $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$

2. 解き方の手順

(2)

まず、式を展開します。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

これは対称式なので、$(a+b)(b+c)(c+a)$になることが予想できます。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab + ac + b^2 + bc)(c+a) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

したがって、

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

(3)

まず、式を展開します。

$a(b^2 - 2bc + c^2) + b(c^2 - 2ca + a^2) + c(a^2 - 2ab + b^2) + 8abc = ab^2 - 2abc + ac^2 + bc^2 - 2abc + ba^2 + ca^2 - 2abc + cb^2 + 8abc = ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc$

整理すると

$a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

これは、

$(a+b)(b+c)(c+a)$の展開と同じです。

$-(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$です。

$- (a+b-c)(c-a+b)(a-b+c) =(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$

ここで、

$(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) = (a+(b-c))(a-(b-c))(-(a-(b+c)))=(a^2 - (b-c)^2) (-(a-(b+c))) = (a^2 -b^2 +2bc - c^2)(b+c - a)$

したがって、

$a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc = -(a-b)(b-c)(c-a)$

よって、

$a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc = 4abc$

(4)

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (ab + ac + b^2 + bc)(c+a) + abc = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc + abc = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc$

これは、

$(a+b+c)(ab+bc+ca) = a^2b + abc + ca^2 + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc$

したがって、

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$

3. 最終的な答え

(2) $(a+b)(b+c)(c+a)$

(3) $4abc$

(4) $(a+b+c)(ab+bc+ca)$