$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

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1. 問題の内容

問題46の(1)を解きます。与えられた式は$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$です。この式を因数分解します。

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2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、整理します。その後、因数分解しやすいように工夫します。

1. 式を展開する:

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

2. $a$について整理する：

$a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b = (b-c)a^2 + (c^2-b^2)a + (b^2c - c^2b)$

3. さらに整理する：

$(b-c)a^2 + (c^2-b^2)a + (b^2c - c^2b) = (b-c)a^2 - (b^2 - c^2)a + bc(b - c)$

4. $(b-c)$でくくる:

$(b-c)a^2 - (b^2 - c^2)a + bc(b - c) = (b-c)[a^2 - (b+c)a + bc]$

5. かっこの中を因数分解する：

$a^2 - (b+c)a + bc = (a-b)(a-c)$

6. 最終的な形：

$(b-c)[a^2 - (b+c)a + bc] = (b-c)(a-b)(a-c)$

7. 見栄えを良くするために符号を調整します：

$(b-c)(a-b)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

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3. 最終的な答え

与えられた式の因数分解の結果は、$-(a-b)(b-c)(c-a)$です。

$(a-b)(b-c)(c-a)$でも正解です。