与えられた式 $8x^3 - 125y^3$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $8x^3 - 125y^3$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この式は、$a^3 - b^3$ の形の差の立方として認識できます。

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ という公式を利用します。

まず、$8x^3$ と $125y^3$ をそれぞれ立方として表します。

$8x^3 = (2x)^3$ であり、$125y^3 = (5y)^3$ です。

したがって、$a = 2x$ かつ $b = 5y$ となります。

次に、差の立方公式に $a$ と $b$ を代入します。

$(a - b) = (2x - 5y)$

$a^2 = (2x)^2 = 4x^2$

$ab = (2x)(5y) = 10xy$

$b^2 = (5y)^2 = 25y^2$

したがって、

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

$8x^3 - 125y^3 = (2x - 5y)(4x^2 + 10xy + 25y^2)$

3. 最終的な答え

$(2x - 5y)(4x^2 + 10xy + 25y^2)$