与えられた2変数多項式 $x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (2y - 5)x + (-6y + 6)$

次に、$x$ についての二次式の形になっているので、定数項 $-6y + 6$ が $(x + A)(x + B)$ の $A$ と $B$ に対応するように考えます。

$(x+A)(x+B) = x^2 + (A+B)x + AB$

$AB = -6y + 6$

$A+B = 2y - 5$

$-6y+6 = -6(y-1)$

$x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6 = x^2 + (2y - 5)x - 6y + 6$

$= x^2 + (2y - 5)x - 6(y - 1)$

$= (x + a)(x + b)$

$a+b = 2y-5$

$ab = -6(y-1)$

この場合、 $a, b$ を $y$ の一次式で表すことを考えます。

$a = 2(y - 1) = 2y - 2$ とおくと、 $b = \frac{-6(y - 1)}{2(y - 1)} = -3$ になります。

$a+b = 2y - 2 - 3 = 2y - 5$ になり、これは条件を満たします。

したがって、

$x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6 = (x + 2y - 2)(x - 3)$

3. 最終的な答え

$(x + 2y - 2)(x - 3)$