与えられた式 $2ca + 2a^2 + ab - b^2 - bc$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $2ca + 2a^2 + ab - b^2 - bc$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

式を整理して、共通因数を見つけ、因数分解を行います。

まず、式を $a$ について整理します。

$2a^2 + (2c + b)a - (b^2 + bc)$

次に、たすき掛けを使って因数分解を試みます。

$2a^2 + (2c + b)a - b(b+c)$

$2a^2 + 2ca + ab - b^2 - bc$

式を以下のように並び替えます。

$2a^2 + 2ca + ab - b^2 - bc$

$= 2a^2 + 2ac + ab - b^2 - bc$

$= 2a(a+c) + b(a-b-c)$

ここから共通因数を見つけるのは難しいので、別の方法を試みます。

式を以下のように並び替えます。

$2a^2 + ab + 2ca - b^2 - bc$

$= 2a^2 + ab + 2ac - b^2 - bc$

$= 2a^2 + ab + 2ac - b(b + c)$

$= 2a^2 + (b+2c)a - b(b+c)$

ここで、因数分解後の形を$(2a + x)(a + y)$とおくと、

$xy = -b(b+c)$

$2y + x = b+2c$

となる $x, y$ を探します。

$y = b+c$とすると、$x=-b$となり、

$2(b+c) - b = b+2c$が成り立ちます。

したがって、式は次のように因数分解できます。

$2a^2 + (b+2c)a - b(b+c) = (2a-b)(a+b+c)$

3. 最終的な答え

$(2a - b)(a + b + c)$