2次関数 $y = x^2 - 2(a-2)x + 2a^2 - 7a$ のグラフを $G$ とする。 (1) $G$ の頂点の座標を求めよ。また、$G$ が $x$ 軸と共有点を持つような $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2(a-2)x + 2a^2 - 7a$ のグラフを $G$ とする。

(1) $G$ の頂点の座標を求めよ。また、$G$ が $x$ 軸と共有点を持つような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

\begin{align*}

y &= x^2 - 2(a-2)x + 2a^2 - 7a \\

&= (x - (a-2))^2 - (a-2)^2 + 2a^2 - 7a \\

&= (x - (a-2))^2 - (a^2 - 4a + 4) + 2a^2 - 7a \\

&= (x - (a-2))^2 + a^2 - 3a - 4

\end{align*}

したがって、頂点の座標は $(a-2, a^2 - 3a - 4)$ です。

次に、$G$ が $x$ 軸と共有点を持つ条件を考えます。$G$ が $x$ 軸と共有点を持つための必要十分条件は、$a^2 - 3a - 4 \leq 0$ となることです。

$a^2 - 3a - 4 = (a-4)(a+1)$ なので、

$(a-4)(a+1) \leq 0$ を解くと、$-1 \leq a \leq 4$ となります。

3. 最終的な答え

頂点の座標は $(a-2, a^2 - 3a - 4)$ です。

$a-2$ の部分は、$a$ がそのまま入ります。

$a^2 - 3a - 4$ の部分は、$a^2 - 3a - 4$ です。

$x$ 軸と共有点を持つ $a$ の範囲は $-1 \leq a \leq 4$ です。

よって、エオは $-1$、カは $4$、キは $\leq$ を表す ③、クも $\leq$ を表す ③ です。

したがって、$a \geq -1$　かつ　$a \leq 4$となります。正しくは、$-1 \le a \le 4$

ア：2

イ：3

ウ：4

エオ：-1

カ：4

キ：3

ク：3