与えられた多項式 $5x^2 + 7xy + 2y^2 - 2x + y - 3$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $5x^2 + 7xy + 2y^2 - 2x + y - 3$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ についての二次式とみて整理します。

$5x^2 + (7y-2)x + (2y^2+y-3)$

次に、定数項である $2y^2+y-3$ を因数分解します。

$2y^2+y-3 = (2y+3)(y-1)$

次に、全体を因数分解できるかどうかを検討します。$5x^2 + (7y-2)x + (2y+3)(y-1)$ を $(ax+by+c)(dx+ey+f)$ の形に因数分解できるか考えます。

$5x^2 + (7y-2)x + (2y+3)(y-1) = (5x + Ay + B)(x + Cy + D)$ と仮定して展開すると、

$5x^2 + (5Cy + Ay)x + ACy^2 + (5D+AB)x + (AD+BC)y + BD$

上記の式と元の式を比較すると、

$AC = 2$, $AD+BC = 1$, $BD = -3$, $5C+A = 7$, $5D+B = -2$　となります。

$2y^2 + y - 3 = (2y+3)(y-1)$ であることから、組み合わせを考慮して

$5x^2 + (7y-2)x + (2y+3)(y-1) = (5x + (2y+3))(x + (y-1))$

$= 5x^2 + 5x(y-1) + x(2y+3) + (2y+3)(y-1)$

$= 5x^2 + (5y-5 + 2y+3)x + 2y^2 - 2y + 3y - 3$

$= 5x^2 + (7y-2)x + 2y^2 + y - 3$

これは元の式と一致します。

3. 最終的な答え

$(5x+2y+3)(x+y-1)$