与えられた式 $2a^2 - b^2 + ab - bc + 2ca$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $2a^2 - b^2 + ab - bc + 2ca$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、式を整理して、$a$ についてまとめてみます。

$2a^2 + (b + 2c)a - (b^2 + bc)$

次に、定数項$-(b^2+bc)$ を因数分解します。

$-(b^2 + bc) = -b(b+c)$

したがって、式全体が $(pa + q)(ra + s)$ の形に因数分解できると仮定すると、以下が成り立ちます。

$pr = 2$

$ps + qr = b + 2c$

$qs = -b(b+c)$

$pr = 2$ より、$p=2, r=1$ または $p=1, r=2$ が考えられます。

もし $p=2, r=1$ なら、

$2s + q = b + 2c$

$qs = -b(b+c)$

もし $p=1, r=2$ なら、

$s + 2q = b + 2c$

$qs = -b(b+c)$

ここで、$q = -b$ と仮定すると、$s = b+c$。このとき、$2s + q = 2(b+c) - b = b + 2c$となり、$p=2, r=1$ の場合と一致します。

したがって、$2a^2 + (b + 2c)a - b(b+c)$ は、$(2a-b)(a+b+c)$ と因数分解できます。実際に展開してみると、

$(2a - b)(a + b + c) = 2a^2 + 2ab + 2ac - ab - b^2 - bc = 2a^2 + ab + 2ac - b^2 - bc$ となり、元の式と一致します。

3. 最終的な答え

$(2a - b)(a + b + c)$